PT2-Glied: Dämpfung, Überschwingen und Sprungantwort
Das Verzögerungsglied zweiter Ordnung — Überschwingen als Funktion der Dämpfung
Die Überschwingweite hängt allein vom Dämpfungsgrad ab: ü = e−πD/√(1−D²). Die Eigenfrequenz bestimmt nur, wie schnell alles abläuft.
Übertragungsfunktion und Kennwerte
G(s) = K_s · ω₀² / (s² + 2·D·ω₀·s + ω₀²) G(s) = K_s / (1 + 2·D·T·s + T²·s²) mit T = 1/ω₀ D = Dämpfungsgrad (dimensionslos) ω₀ = Kennkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung ü = e^(−πD/√(1−D²)) Überschwingweite ω_d = ω₀ · √(1−D²) Frequenz der gedämpften Schwingung
Überschwingen über den Dämpfungsgrad
| Dämpfungsgrad D | Überschwingweite ü | Verhalten |
|---|---|---|
| 0,1 | 72,9 % | schwach gedämpft, viele Überschwinger |
| 0,2 | 52,7 % | schwach gedämpft, viele Überschwinger |
| 0,3 | 37,2 % | brauchbar gedämpft |
| 0,4 | 25,4 % | brauchbar gedämpft |
| 0,5 | 16,3 % | brauchbar gedämpft |
| 0,6 | 9,5 % | brauchbar gedämpft |
| 0,707 | 4,3 % | gut gedämpft |
| 0,8 | 1,5 % | gut gedämpft |
| 0,9 | 0,2 % | gut gedämpft |
| 1 | 0 % | aperiodischer Grenzfall, kein Überschwingen |
D = 0,707 gilt als Auslegungsziel vieler Regelkreise: knapp über 4 % Überschwingen bei kürzestmöglicher Ausregelzeit. Wer gar kein Überschwingen zulassen darf, muss auf D = 1 gehen und eine spürbar längere Anstiegszeit hinnehmen.
Die drei Fälle
| Bereich | Bezeichnung | Sprungantwort |
|---|---|---|
| D = 0 | ungedämpft | Dauerschwingung mit ω₀, klingt nicht ab |
| 0 < D < 1 | schwingend (periodisch gedämpft) | abklingende Schwingung um den Endwert |
| D = 1 | aperiodischer Grenzfall | schnellstmögliche Annäherung ohne Überschwingen |
| D > 1 | kriechend (aperiodisch) | zwei reelle Zeitkonstanten, Verhalten wie zwei PT1-Glieder in Reihe |
Wo PT2-Verhalten herkommt und warum es die Regelung bestimmt
Ein PT2-Glied entsteht, sobald zwei Energiespeicher zusammenwirken, zwischen denen Energie hin- und herwandern kann: Masse und Feder, Induktivität und Kapazität, träges Fahrzeug und elastische Kupplung. Anders als beim PT1-Glied kann das System dabei über den Endwert hinausschießen, weil die im ersten Speicher aufgenommene Energie den zweiten weiterschiebt.
Bemerkenswert an der Überschwingformel ist, was nicht darin vorkommt: die Eigenfrequenz. Wie hoch der erste Überschwinger ausfällt, hängt allein vom Dämpfungsgrad ab. ω₀ bestimmt nur den Zeitmaßstab — verdoppelt man sie, läuft dieselbe Kurve doppelt so schnell ab, mit exakt demselben Überschwingen.
Für die Auslegung von Regelkreisen ist das die zentrale Größe, weil sich jeder geschlossene Kreis in der Nähe seines Arbeitspunkts näherungsweise als PT2-System beschreiben lässt. Aus einem gemessenen Überschwingen von 25 % folgt rückwärts ein Dämpfungsgrad um 0,4 — und damit eine belastbare Aussage darüber, wie viel Reserve zur Stabilitätsgrenze noch bleibt.
Die häufig genannte Auslegung auf D = 0,707 ist ein Kompromiss: Sie liefert die kürzeste Ausregelzeit auf ein Toleranzband von wenigen Prozent, um den Preis von gut vier Prozent Überschwingen. Wo das nicht zulässig ist, geht man auf den aperiodischen Grenzfall D = 1 und nimmt eine längere Anstiegszeit in Kauf.
Häufige Fragen
Wie hängt das Überschwingen vom Dämpfungsgrad ab?
Über ü = e^(−πD/√(1−D²)). Bei D = 0,2 sind es 52,7 %, bei D = 0,5 noch 16,3 %, bei D = 0,707 nur 4,3 % und ab D = 1 gar keines mehr. Die Eigenfrequenz spielt dabei keine Rolle — sie bestimmt nur, wie schnell der Vorgang abläuft.
Was ist der aperiodische Grenzfall?
Der Fall D = 1: die Sprungantwort erreicht den Endwert so schnell wie möglich, ohne ihn zu überschreiten. Darunter schwingt das System über, darüber kriecht es langsamer heran als nötig. Für D > 1 zerfällt das PT2-Glied in zwei reelle Zeitkonstanten und verhält sich wie zwei PT1-Glieder in Reihe.
Wie bestimme ich D aus einer gemessenen Sprungantwort?
Die Überschwingweite des ersten Maximums ablesen und die Formel umstellen: D = |ln ü| / √(π² + ln²ü) mit ü als Verhältniswert. Ein Überschwingen von 25 % ergibt so einen Dämpfungsgrad von etwa 0,40. Die Eigenfrequenz folgt aus der Periodendauer der abklingenden Schwingung.
Warum wird oft auf D = 0,707 ausgelegt?
Weil dieser Wert die kürzeste Ausregelzeit auf ein enges Toleranzband liefert. Das Überschwingen bleibt mit 4,3 % gering, die Anstiegszeit deutlich kürzer als beim aperiodischen Grenzfall. Wo überhaupt kein Überschwingen zulässig ist, muss man auf D = 1 gehen.
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