PT1-Glied: Sprungantwort, Zeitkonstante und Übertragungsfunktion
Das Verzögerungsglied erster Ordnung — 63 % nach einer Zeitkonstante
Die Sprungantwort h(t) = Ks · (1 − e−t/T) erreicht nach t = T immer denselben Anteil des Endwerts, unabhängig davon, wie groß T ist.
Differentialgleichung, Übertragungsfunktion, Sprungantwort
T · ẏ(t) + y(t) = K_s · u(t) G(s) = K_s / (1 + T·s) h(t) = K_s · (1 − e^(−t/T)) K_s = Streckenverstärkung (Endwert je Eingangssprung) T = Zeitkonstante
Sprungantwort in Vielfachen der Zeitkonstante
| t | Anteil des Endwerts | Rest |
|---|---|---|
| 0,5 · T | 39,3 % | 60,7 % |
| 1 · T | 63,2 % | 36,8 % |
| 2 · T | 86,5 % | 13,5 % |
| 3 · T | 95 % | 5 % |
| 4 · T | 98,2 % | 1,8 % |
| 5 · T | 99,3 % | 0,7 % |
Nach drei Zeitkonstanten sind 95 % erreicht, nach fünf über 99 %. In der Praxis gilt ein PT1-Glied nach 3·T als eingeschwungen, bei strengerer Betrachtung (±2 %) nach 4·T.
Zeitkonstante aus einer Messkurve bestimmen
| Verfahren | Vorgehen | Anmerkung |
|---|---|---|
| 63-Prozent-Methode | Endwert bestimmen, davon 63,2 % suchen, zugehörige Zeit ablesen | am robustesten, ein einziger Messpunkt |
| Tangentenmethode | Tangente im Ursprung anlegen, Schnittpunkt mit dem Endwert | anschaulich, bei Rauschen aber unsicher |
| Zwei-Punkte-Methode | Zeiten für 28,3 % und 63,2 % ablesen, T = 1,5·(t₆₃ − t₂₈) | liefert zusätzlich eine mögliche Totzeit |
Frequenzgang
| Frequenz | Amplitude | Phase |
|---|---|---|
| ω ≪ 1/T | Ks (0 dB bezogen auf Ks) | 0° |
| ω = 1/T (Eckfrequenz) | 0,707 · Ks (−3 dB) | −45° |
| ω ≫ 1/T | fällt mit −20 dB je Dekade | −90° |
Wo PT1-Verhalten auftritt
Das PT1-Glied ist das häufigste Modell der Regelungstechnik, weil es überall dort entsteht, wo etwas gespeichert wird und der Zufluss vom bereits Gespeicherten abhängt. Ein Kondensator, der über einen Widerstand geladen wird. Ein Behälter, dessen Ablauf mit dem Füllstand steigt. Ein Werkstück, das sich der Umgebungstemperatur nähert. In allen drei Fällen dieselbe Gleichung, nur andere Einheiten.
Die Zeitkonstante ist dabei die einzige Kennzahl neben der Verstärkung, und sie hat eine handfeste Bedeutung: Wäre die anfängliche Änderungsgeschwindigkeit konstant geblieben, wäre der Endwert nach genau T erreicht. Tatsächlich wird die Änderung immer langsamer, weshalb es 63,2 % bleiben — die Zahl ist 1 − 1/e.
Für die Reglereinstellung ist wichtig, dass ein einzelnes PT1-Glied nicht instabil werden kann. Seine Phase erreicht selbst bei sehr hohen Frequenzen nur −90 Grad, und für eine Dauerschwingung bräuchte es −180. Erst die Reihenschaltung mehrerer Verzögerungen oder eine zusätzliche Totzeit macht einen Kreis schwingfähig.
Genau deshalb sind reine PT1-Strecken regelungstechnisch angenehm: Ein P-Regler mit hoher Verstärkung bleibt stabil, und die bleibende Abweichung lässt sich damit klein halten. Schwierig werden erst PT2-Verhalten und Strecken höherer Ordnung.
Häufige Fragen
Was ist ein PT1-Glied?
Ein Verzögerungsglied erster Ordnung: ein System mit genau einem Energiespeicher, dessen Sprungantwort exponentiell auf einen Endwert zuläuft. Beschrieben wird es durch die Übertragungsfunktion G(s) = Ks/(1+T·s) mit der Streckenverstärkung Ks und der Zeitkonstante T.
Warum sind es nach einer Zeitkonstante genau 63 %?
Weil die Sprungantwort h(t) = Ks·(1−e^(−t/T)) lautet und für t = T der Wert 1 − 1/e herauskommt, also 0,632. Diese Zahl ist unabhängig von der Größe der Zeitkonstante und deshalb der praktischste Weg, T aus einer Messkurve abzulesen.
Wie bestimme ich die Zeitkonstante aus einer Messung?
Den Endwert der Sprungantwort bestimmen, davon 63,2 % nehmen und die Zeit ablesen, zu der die Kurve diesen Wert erreicht. Das ist die Zeitkonstante T. Die Tangentenmethode führt auf denselben Wert, ist bei verrauschten Messungen aber ungenauer, weil die Tangente im Ursprung nicht eindeutig anliegt.
Wann gilt ein PT1-Glied als eingeschwungen?
Nach drei Zeitkonstanten sind 95,0 % des Endwerts erreicht, nach vier 98,2 % und nach fünf 99,3 %. Je nach gefordertem Toleranzband gilt deshalb 3·T (±5 %) oder 4·T (±2 %) als Ausregelzeit.
Alle Themen der Regelungstechnik
Regelkreis-Simulator öffnen · Hydraulik- und FUP-Simulator · Alle Rechner