PI-Regler: Formel, Nachstellzeit Tn und Windup
Der Regler, der die bleibende Abweichung beseitigt
Die Nachstellzeit Tn ist die Zeit, in der der I-Anteil dieselbe Stellgröße aufbringt, die der P-Anteil sofort erzeugt hat.
Reglergleichung und Übertragungsfunktion
u(t) = K_p · ( e(t) + 1/T_n · ∫ e(t) dt ) G_R(s) = K_p · (1 + 1/(T_n·s)) = K_p · (1 + T_n·s) / (T_n·s) Parallelform: u(t) = K_p · e(t) + K_i · ∫ e(t) dt mit K_i = K_p / T_n
Beide Formen beschreiben denselben Regler. Die erste ist die in der Prozesstechnik übliche (Kp und Tn), die zweite die in Simulationswerkzeugen und Bibliotheken übliche (Kp und Ki). Verwechslung ist die häufigste Ursache dafür, dass eine übernommene Einstellung nicht funktioniert.
Was die Nachstellzeit bewirkt
| Tn | Verhalten | Erkennbar an |
|---|---|---|
| zu klein | I-Anteil zieht zu schnell nach, der Kreis schwingt | langsame, große Schwingung um den Sollwert, die kaum abklingt |
| passend | Abweichung wird zügig und ohne starkes Überschwingen abgebaut | ein bis zwei Überschwinger, dann ruhig |
| zu groß | I-Anteil wirkt kaum, der Kreis verhält sich fast wie ein P-Regler | Istwert nähert sich dem Sollwert sehr langsam von unten |
| unendlich | reiner P-Regler | bleibende Regelabweichung |
Einstellwerte für die Beispielstrecke K<sub>s</sub> = 2, T<sub>u</sub> = 1 s, T<sub>g</sub> = 8 s
| Regel | Kp | Tn |
|---|---|---|
| Ziegler-Nichols, Streckenverfahren | 3,6 | 3,33 s |
| CHR, Führung, aperiodisch | 1,4 | 9,6 s |
| CHR, Störung, aperiodisch | 2,4 | 4 s |
| T-Summen-Regel, normal (TΣ = 8 s) | 0,25 | 4,00 s |
Die Spanne ist beträchtlich, und das ist kein Widerspruch zwischen den Regeln: Sie optimieren verschiedene Dinge. Jede der Zeilen ist ein sinnvoller Startwert, keine davon ist die endgültige Einstellung.
Nachstellzeit, Windup und die üblichen Fehler
Der I-Anteil summiert die Regelabweichung über die Zeit auf. Solange auch nur ein kleiner Rest bleibt, wächst seine Stellgröße weiter — und hört erst auf, wenn die Abweichung tatsächlich null ist. Das ist der ganze Mechanismus, mit dem der PI-Regler die bleibende Abweichung des reinen P-Reglers beseitigt.
Die Nachstellzeit Tn hat eine anschauliche Bedeutung: Springt die Regelabweichung, erzeugt der P-Anteil sofort einen Sprung der Stellgröße. Der I-Anteil beginnt bei null und wächst linear. Tn ist genau die Zeit, nach der er denselben Betrag erreicht hat wie der P-Sprung. Ein kleines Tn heißt also: der I-Anteil zieht schnell nach.
Der Preis für den I-Anteil ist Phase. Ein Integrator dreht die Phase um 90 Grad nach hinten, und Phasenreserve ist genau das, was einen Regelkreis stabil hält. Deshalb muss Kp beim PI-Regler kleiner sein als beim reinen P-Regler an derselben Strecke — bei Ziegler-Nichols um den Faktor 0,9.
Windup ist der praktische Stolperstein. Erreicht das Stellglied seine Grenze — Ventil ganz offen, Umrichter am Maximum —, bewirkt weiteres Aufsummieren nichts mehr, der I-Anteil wächst aber ungebremst weiter. Kommt der Istwert dann endlich heran, muss dieser aufgelaufene Betrag erst wieder abgebaut werden, und der Kreis schießt weit über den Sollwert hinaus. Abhilfe ist eine Anti-Windup-Maßnahme: den I-Anteil anhalten, sobald das Stellglied in der Begrenzung steht, den Abbau in die Gegenrichtung aber weiter zulassen. Genau so arbeitet auch der Regelkreis-Simulator.
Häufige Fragen
Was bedeutet die Nachstellzeit Tn?
Tn ist die Zeit, in der der I-Anteil dieselbe Stellgröße aufbringt, die der P-Anteil beim Sprung der Regelabweichung sofort erzeugt hat. Ein kleines Tn bedeutet einen schnell nachziehenden I-Anteil und damit einen zügigen, aber schwingfreudigen Kreis; ein großes Tn nähert das Verhalten dem eines reinen P-Reglers an.
Wie rechne ich Tn in Ki um?
Ki = Kp / Tn. Bei Kp = 3,6 und Tn = 3,33 s ergibt das Ki = 1,08 pro Sekunde. Die Umrechnung ist nötig, weil die Prozesstechnik mit Kp und Tn arbeitet, Simulationswerkzeuge und Regelungsbibliotheken dagegen meist mit Kp und Ki in Parallelform.
Was ist Windup und wie verhindert man es?
Erreicht das Stellglied seine Grenze, läuft der I-Anteil ohne Gegenmaßnahme weiter auf, obwohl er nichts mehr bewirkt. Beim Zurückkommen dauert es lange, bis dieser Betrag abgebaut ist, und der Kreis schießt weit über. Anti-Windup stoppt das Aufladen in Richtung der Grenze, lässt den Abbau in die Gegenrichtung aber zu.
Warum muss Kp beim PI-Regler kleiner sein als beim P-Regler?
Weil der Integrator die Phase um 90 Grad nach hinten dreht und damit Phasenreserve verbraucht — genau die Reserve, die den Kreis stabil hält. Die Einstellregeln tragen dem Rechnung: Ziegler-Nichols setzt für den PI-Regler 0,9 · Tg/(Ks·Tu) an, für den reinen P-Regler den vollen Wert.
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