PID-Regler: Formel, Parameter und Umrechnung der Darstellungsformen
Alle drei Anteile, ihre Wirkung und die Umrechnung Kp/Tn/Tv in Kp/Ki/Kd
Drei Anteile auf dieselbe Abweichung: auf ihre Größe, ihre Dauer und ihre Änderungsgeschwindigkeit.
Die beiden gebräuchlichen Formen
Standardform: u = K_p · ( e + 1/T_n · ∫ e dt + T_v · de/dt )
Parallelform: u = K_p · e + K_i · ∫ e dt + K_d · de/dt
Umrechnung: K_i = K_p / T_n K_d = K_p · T_v
T_n = K_p / K_i T_v = K_d / K_p
Beide beschreiben denselben Regler. Die Standardform ist in der Prozesstechnik üblich, die Parallelform in Simulationswerkzeugen, Bibliotheken und Motorreglern. Wer eine Einstellung aus einer Quelle in ein Werkzeug der anderen Welt überträgt, ohne umzurechnen, bekommt ein völlig anderes Verhalten.
Umrechnungsbeispiel
| Standardform | Parallelform |
|---|---|
| Kp = 4,8 | Kp = 4,8 |
| Tn = 2 s | Ki = 2,4 1/s |
| Tv = 0,5 s | Kd = 2,4 s |
Gerechnet für die Ziegler-Nichols-Einstellung an der Beispielstrecke.
Wirkung der einzelnen Anteile
| Größer wird… | Anstiegszeit | Überschwingen | Ausregelzeit | Bleibende Abweichung |
|---|---|---|---|---|
| Kp | kürzer | größer | kaum verändert | kleiner, aber nie null |
| Ki (also Tn kleiner) | kürzer | größer | länger | verschwindet |
| Kd (also Tv größer) | kaum verändert | kleiner | kürzer | unverändert |
Die Tabelle gilt als Tendenz für die üblichen Strecken mit Ausgleich, nicht als Gesetz. Bei stark totzeitbehafteten Strecken kann ein größeres Kp die Ausregelzeit auch verlängern, weil der Kreis ins Schwingen gerät.
Einstellwerte für die Beispielstrecke K<sub>s</sub> = 2, T<sub>u</sub> = 1 s, T<sub>g</sub> = 8 s
| Regel | Kp | Tn | Tv |
|---|---|---|---|
| Ziegler-Nichols, Streckenverfahren | 4,8 | 2 s | 0,5 s |
| CHR, Führung, aperiodisch | 2,4 | 8 s | 0,5 s |
| CHR, Störung, 20 % | 4,8 | 2 s | 0,42 s |
| T-Summen-Regel, normal (TΣ = 8 s) | 0,50 | 5,28 s | 1,34 s |
Die drei Anteile und ihr Zusammenspiel
Der PID-Regler betrachtet dieselbe Regelabweichung aus drei Blickwinkeln. Der P-Anteil fragt: wie groß ist sie gerade? Der I-Anteil: wie lange besteht sie schon? Der D-Anteil: wohin bewegt sie sich? Aus diesen drei Antworten entsteht eine Stellgröße, die schnell reagiert, den Sollwert exakt erreicht und dabei gedämpft bleibt — solange die Parameter zusammenpassen.
In der Praxis wird meistens von innen nach außen eingestellt. Zuerst Kp allein, bis der Kreis zügig, aber noch stabil reagiert. Dann der I-Anteil mit einem großen Tn, das schrittweise verkleinert wird, bis die bleibende Abweichung schnell genug verschwindet, ohne dass eine langsame Schwingung entsteht. Der D-Anteil kommt zuletzt und oft gar nicht.
Denn tatsächlich laufen die meisten industriellen Kreise als PI-Regler. Der D-Anteil verlangt ein sauberes Messsignal und bringt bei schnellen Strecken wenig; wo er hilft, sind es träge Strecken höherer Ordnung mit rauscharmer Messung — Temperaturen mit gut angekoppeltem Fühler, Positionen mit Encoder.
Die häufigste Fehlerquelle beim Übernehmen einer Einstellung sind die beiden Darstellungsformen. Standardform und Parallelform sehen ähnlich aus, ihre Zahlen bedeuten aber Verschiedenes: Tn = 2 s und Ki = 2 sind nicht dasselbe, sondern bei Kp = 4,8 um den Faktor zehn auseinander. Im Regelkreis-Simulator lässt sich beides gegeneinander prüfen, indem man die Sprungantwort vergleicht.
Häufige Fragen
Wie rechne ich Kp, Tn und Tv in Kp, Ki und Kd um?
Ki = Kp / Tn und Kd = Kp · Tv, in der Gegenrichtung Tn = Kp / Ki und Tv = Kd / Kp. Bei Kp = 4,8, Tn = 2 s und Tv = 0,5 s ergibt das Ki = 2,4 pro Sekunde und Kd = 2,4 Sekunden.
In welcher Reihenfolge stelle ich einen PID-Regler ein?
Zuerst Kp allein, mit abgeschaltetem I- und D-Anteil, bis der Kreis zügig und noch stabil reagiert. Dann Tn von einem großen Wert aus verkleinern, bis die bleibende Abweichung schnell genug verschwindet, ohne dass eine langsame Schwingung entsteht. Der D-Anteil kommt zuletzt und nur, wenn das Messsignal sauber genug dafür ist.
Was bewirkt ein größeres Kp?
Der Kreis reagiert schneller und die bleibende Regelabweichung wird kleiner, das Überschwingen nimmt aber zu. Ab einem bestimmten Wert — der kritischen Verstärkung — schwingt der Kreis dauerhaft, statt sich einzupendeln. Genau dieser Punkt wird beim Schwingversuch nach Ziegler-Nichols gesucht.
Brauche ich wirklich alle drei Anteile?
Meistens nicht. Der überwiegende Teil der industriellen Regelkreise läuft als PI-Regler, weil der D-Anteil ein rauscharmes Messsignal verlangt und bei schnellen Strecken wenig bringt. Er lohnt sich vor allem bei trägen Strecken höherer Ordnung mit sauberer Messung.
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