Trägerbiegungs-Rechner

Ermittlung von Durchbiegung und maximalem Biegemoment für Einfeldträger und Kragbalken.

Träger-Parameter

Berechnungsergebnisse

Maximales Biegemoment (Mmax)
-- Nmm
(-- Nm)
Maximale Durchbiegung (f)
-- mm
⚠️ Reine Idealberechnung ohne Berücksichtigung von Eigengewicht oder Knicken. Nur als Richtwert für die Vordimensionierung nutzen.

Trägerbiegung berechnen: Durchbiegung und Biegespannung

Ein belasteter Träger muss zwei Nachweise bestehen. Der erste ist die Festigkeit: Die Biegespannung darf die zulässige Spannung des Werkstoffs nicht überschreiten. Der zweite ist die Steifigkeit: Die Durchbiegung muss klein genug bleiben, damit die Konstruktion funktioniert. In der Praxis ist überraschend oft die Durchbiegung maßgebend — ein Träger kann rechnerisch weit von der Streckgrenze entfernt sein und trotzdem unbrauchbar durchhängen.

Die wichtigsten Lastfälle

Kragarm, Einzellast am Ende f = F · L³ / (3 · E · I) Mmax = F · L Zweifeldträger, Einzellast in der Mitte f = F · L³ / (48 · E · I) Mmax = F · L / 4 Zweifeldträger, Streckenlast f = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I) Mmax = q · L² / 8 Biegespannung σ = M / W f = Durchbiegung in mm · E = Elastizitätsmodul in N/mm² · I = Flächenträgheitsmoment in mm⁴ W = Widerstandsmoment in mm³ · q = Streckenlast in N/mm

Auffällig ist die dritte beziehungsweise vierte Potenz der Länge. Wer einen Träger doppelt so lang macht, bekommt bei gleicher Einzellast die achtfache Durchbiegung. Länge ist damit der mit Abstand empfindlichste Parameter der ganzen Rechnung.

Rechenbeispiel: Flachstahl auf zwei Stützen

Gegeben: Rechteckquerschnitt 20 mm breit, 40 mm hoch (hochkant), Stützweite L = 1000 mm, Einzellast F = 500 N in Feldmitte, Stahl mit E = 210 000 N/mm²

Flächenträgheitsmoment: I = 20 · 40³ / 12 ≈ 106 667 mm⁴

Widerstandsmoment: W = I / 20 mm ≈ 5333 mm³

Biegemoment: M = 500 · 1000 / 4 = 125 000 Nmm

Biegespannung: σ = 125 000 / 5333 ≈ 23,4 N/mm² — unkritisch für Baustahl

Durchbiegung: f = 500 · 1000³ / (48 · 210 000 · 106 667) ≈ 0,47 mm

Häufige Fragen

Warum trägt ein hochkant gestellter Flachstahl so viel mehr?

Weil die Höhe in der dritten Potenz eingeht. Derselbe Querschnitt 20 × 40 mm hat flach liegend nur ein Viertel des Flächenträgheitsmoments und verformt sich unter gleicher Last viermal so stark. Material an der richtigen Stelle ist wirksamer als mehr Material.

Welche Durchbiegung ist noch zulässig?

Das hängt von der Funktion ab, nicht vom Werkstoff. Im Stahlbau sind L/300 bis L/500 üblich, für Führungen und Messaufbauten liegt die Grenze eher bei L/1000 oder darunter. Bei einem Träger von einem Meter Stützweite bedeutet L/500 also 2 mm — der Beispielträger oben liegt mit 0,47 mm deutlich darunter.

Warum ändert ein anderer Werkstoff die Spannung nicht?

Die Biegespannung folgt allein aus Moment und Widerstandsmoment, also aus Last und Geometrie. Der Elastizitätsmodul steckt nur in der Durchbiegung. Ein Aluminiumträger hat bei gleicher Geometrie dieselbe Spannung wie ein Stahlträger, verformt sich aber etwa dreimal so stark — und hält weniger aus, weil seine zulässige Spannung niedriger liegt.

Wann reicht diese Rechnung nicht mehr aus?

Bei sehr kurzen, gedrungenen Trägern wird der Schubanteil an der Verformung relevant, den die Biegelinie vernachlässigt. Schlanke, hohe Querschnitte können außerdem seitlich ausknicken (Kippen), bevor die rechnerische Biegespannung erreicht ist. Beide Fälle brauchen einen gesonderten Nachweis.

Wie berechnet man die Durchbiegung eines Kragarms?

Bei Einzellast am freien Ende gilt f = F · l³ / (3 · E · I). Beispiel: Vierkantrohr 40 × 40 × 3 mit I ≈ 10,9 cm4 = 109 000 mm4, l = 800 mm, F = 500 N, E = 210 000 N/mm². Damit f = 500 · 800³ / (3 · 210 000 · 109 000) ≈ 3,7 mm. Bei Streckenlast über die volle Länge lautet die Formel f = q · l4 / (8 · E · I).

Wie berechnet man die Biegespannung?

σb = Mb / W, mit dem Biegemoment an der betrachteten Stelle und dem Widerstandsmoment des Querschnitts. Beim Kragarm mit Einzellast am Ende ist Mb,max = F · l an der Einspannung, beim beidseitig gelagerten Träger mit mittiger Last Mb,max = F · l / 4 in Feldmitte. Verglichen wird σb mit der zulässigen Spannung, also Streckgrenze geteilt durch den Sicherheitsbeiwert.

Warum geht die Länge mit der dritten Potenz in die Durchbiegung ein?

Weil sich zwei Wirkungen überlagern: das Biegemoment wächst linear mit der Länge, und die daraus folgende Krümmung wirkt sich über eine entsprechend längere Strecke aus. Praktisch heißt das: doppelte Länge ergibt achtfache Durchbiegung. Eine Auskragung zu kürzen ist deshalb fast immer wirksamer, als den Querschnitt zu vergrößern.