Flächenträgheitsmoment
Zusammengesetzte Querschnitte mit Satz von Steiner. Teilflächen frei anordnen, Aussparungen als negative Fläche.
Vorlage aus Normprofil
Die Vorlage zerlegt das Profil in Rechtecke, damit sichtbar bleibt, woraus sich der Wert zusammensetzt. Die Ausrundungen zwischen Steg und Flansch sind dabei nicht berücksichtigt — das Ergebnis fällt dadurch rund 3–5 % kleiner aus als im Tabellenbuch. Für einen Nachweis gilt die Tabelle.
Teilflächen
| Form | Maße (mm) | x | y | Art |
|---|
x und y geben die Lage des Schwerpunkts der Teilfläche an, bezogen auf einen frei gewählten Nullpunkt.
Querschnitt
Ergebnisse
Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment berechnen
Das Flächenträgheitsmoment I beschreibt, wie gut ein Querschnitt der Verformung durch Biegung widersteht. Das Widerstandsmoment W beschreibt, wie gut er der Beanspruchung widersteht. Beide hängen nur von der Geometrie ab, nicht vom Werkstoff — und beide belohnen Material, das weit von der neutralen Faser entfernt liegt.
Die Grundquerschnitte
Rechteck I = b · h³ / 12 Vollkreis I = π · d⁴ / 64 Kreisring I = π · (D⁴ − d⁴) / 64 Widerstandsmoment W = I / e Satz von Steiner (versetzte Teilflächen) I = Is + A · a² b = Breite · h = Höhe · e = Randfaserabstand · A = Teilfläche · a = SchwerpunktabstandDer Satz von Steiner ist der Schlüssel für zusammengesetzte Profile. Er sagt, dass eine Teilfläche umso mehr beiträgt, je weiter ihr Schwerpunkt von der neutralen Faser entfernt liegt — und zwar mit dem Quadrat des Abstands. Genau daraus leiten sich I-Profil und Rohr ihre Effizienz ab.
Rechenbeispiel: Rechteck hochkant und flach
Querschnitt 20 × 40 mm, hochkant (b = 20 mm, h = 40 mm)
I = 20 · 40³ / 12 ≈ 106 667 mm⁴, W = 106 667 / 20 ≈ 5333 mm³
Derselbe Querschnitt flach (b = 40 mm, h = 20 mm)
I = 40 · 20³ / 12 ≈ 26 667 mm⁴, W = 26 667 / 10 ≈ 2667 mm³
Gleiche Querschnittsfläche, gleicher Werkstoff, gleiches Gewicht — aber das vierfache Flächenträgheitsmoment und das doppelte Widerstandsmoment allein durch die Orientierung.
Warum Rohre so effizient sind
Bei einem Vollkreis trägt das Material in der Mitte kaum etwas bei, weil sein Abstand zur neutralen Faser klein ist. Entfernt man es, verliert der Querschnitt viel Gewicht und wenig Steifigkeit. Ein Rohr mit 40 mm Außen- und 30 mm Innendurchmesser behält gegenüber dem Vollstab noch rund zwei Drittel des Flächenträgheitsmoments bei etwa der Hälfte der Querschnittsfläche. Das ist der Grund, warum Fahrradrahmen, Gerüste und Antriebswellen hohl gebaut werden.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen I und W?
Das Flächenträgheitsmoment I geht in die Verformung ein und beantwortet die Frage, wie stark sich der Träger durchbiegt. Das Widerstandsmoment W geht in die Spannung ein und beantwortet, ob er bricht. W ergibt sich aus I geteilt durch den Abstand zur äußersten Faser.
Wo liegt die neutrale Faser?
Im Flächenschwerpunkt des Querschnitts. Bei symmetrischen Profilen ist das die Mitte. Bei unsymmetrischen Profilen wie einem U- oder T-Querschnitt liegt sie außermittig, und es gibt zwei verschiedene Widerstandsmomente — eines für die gezogene, eines für die gedrückte Randfaser. Maßgebend ist immer das kleinere.
Warum ist beim I-Profil der Steg so dünn?
Weil er zur Biegesteifigkeit wenig beiträgt: Er liegt nah an der neutralen Faser. Seine Aufgabe ist es, die Querkraft zu übertragen und die Flansche auf Abstand zu halten. Die eigentliche Biegearbeit leisten die weit außen liegenden Flansche.
Gilt das auch für Torsion?
Nein. Für Torsion sind das polare Flächenträgheitsmoment und beim offenen Profil ganz andere Zusammenhänge maßgebend. Ein geschlitztes Rohr hat fast dieselbe Biegesteifigkeit wie ein geschlossenes, aber nur einen Bruchteil der Torsionssteifigkeit.
Wie berechnet man das Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks?
I = b · h³ / 12 um die waagerechte Schwerachse, mit b als Breite und h als Höhe in Belastungsrichtung. Das Widerstandsmoment ist W = b · h² / 6. Für einen Flachstahl 40 × 10 hochkant sind das I = 10 · 40³ / 12 = 53 333 mm4 und W = 2667 mm³; flach liegend nur I = 3333 mm4 und W = 667 mm³.
Wie lautet die Formel für Kreis und Rohr?
Vollkreis: I = π · d4 / 64 und W = π · d³ / 32. Rohr: I = π · (D4 − d4) / 64 und W = I / (D/2). Ein Rohr 40 × 3 erreicht damit rund 70 Prozent des Trägheitsmoments eines Vollstabs Ø 40, wiegt aber nur etwa ein Drittel — der Grund, warum tragende Konstruktionen aus Rohren und Profilen bestehen und nicht aus Vollmaterial.
Was besagt der Satz von Steiner?
Liegt die Schwerachse einer Teilfläche nicht in der Schwerachse des Gesamtquerschnitts, kommt ein Anteil hinzu: I = IS + A · a², mit a als Abstand der beiden Achsen. Dieser Steiner-Anteil ist bei zusammengesetzten Querschnitten meist der größere Teil — beim I-Profil steuern die Gurte fast das gesamte Trägheitsmoment über ihren Abstand zur Mitte bei, kaum über ihre eigene Höhe.