Worst Case, RSS oder Monte Carlo: welches Verfahren die Maßkette verdient
Die Maßkette, an der sich alles entscheidet
Eine Welle läuft in zwei Rillenkugellagern, dazwischen sitzt eine Distanzhülse, außen schließt ein Deckel mit Bund die Lagerung ab. Gesucht ist das Axialspiel, also das, was am Ende übrig bleibt, wenn alle Teile aneinanderstoßen. Niemand fertigt dieses Maß. Es entsteht aus fünf anderen.
| Glied | Maß | Toleranz | Richtung |
|---|---|---|---|
| Gehäusetiefe | 160 mm | ± 0,20 mm | plus |
| Lager A, Breite | 20 mm | ± 0,10 mm | minus |
| Distanzhülse | 100 mm | ± 0,10 mm | minus |
| Lager B, Breite | 20 mm | ± 0,10 mm | minus |
| Deckelbund | 19,7 mm | ± 0,05 mm | minus |
Nennwert des Zielmaßes: 160 − 20 − 100 − 20 − 19,7 = 0,3 mm Axialspiel.
Die Lagerbreiten sind Kaufteiltoleranzen nach DIN 620, an denen die Konstruktion nichts ändern kann. Die Gehäusetiefe kommt aus einer Aufspannung im Bearbeitungszentrum, die Hülse vom Drehautomaten. Fünf Glieder, drei Fertigungsverfahren, zwei Lieferanten. Und ein Zielmaß, das kleiner ist als die meisten Einzeltoleranzen.
Worst Case: die Antwort, die immer stimmt
Das arithmetische Verfahren addiert die Beträge aller Toleranzen. Kein Modell, keine Statistik, keine Annahme über Fertigung.
T_ges = |T1| + |T2| + … + |Tn|
= 0,20 + 0,10 + 0,10 + 0,10 + 0,05
= ± 0,55 mm
Axialspiel = 0,3 ± 0,55 mm → −0,25 … +0,85 mm
Die untere Grenze ist negativ. Im ungünstigsten Fall sind die Teile länger als der Bauraum, das Lager wird axial verspannt und läuft heiß. Ob dieser Fall je gebaut wird, sagt die Rechnung nicht. Sie sagt nur, dass er innerhalb der Zeichnung liegt.
Genau das ist die Stärke des Verfahrens. Wo eine Kollision teuer, gefährlich oder nur mit Demontage zu beheben ist, will man diese Aussage. Bei einer Sicherheitsfunktion, bei Stückzahl fünf, bei einem Prototyp, den niemand nachmessen wird: Worst Case, ohne Diskussion.
Die Schwäche zeigt sich, sobald die Kette wächst. Bei zehn Gliedern und einem Zielmaß von ± 0,3 mm bleiben rechnerisch ± 0,03 mm je Glied. Das ist Schleifen und Messprotokoll für jedes Teil, wegen einer Kombination, die statistisch praktisch nicht vorkommt.
RSS: was die Wurzel voraussetzt
Das statistische Verfahren addiert nicht die Toleranzen, sondern deren Quadrate, und zieht am Ende die Wurzel.
T_ges = √(T1² + T2² + … + Tn²)
= √(0,04 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,0025)
= √0,0725
= ± 0,269 mm
Axialspiel = 0,3 ± 0,269 mm → +0,031 … +0,569 mm
Aus der verworfenen Konstruktion wird eine brauchbare. Das Spiel bleibt positiv, die Lager werden nicht verspannt, an den Einzeltoleranzen muss niemand etwas ändern. Der Unterschied zum Worst Case beträgt Faktor zwei, und er ist umso größer, je mehr Glieder die Kette hat.
Bezahlt wird das mit vier Annahmen, die man kennen sollte, bevor man die Zahl in die Zeichnung schreibt.
- Jede Einzeltoleranz entspricht ± 3 Standardabweichungen. Das heißt: der Prozess ist so eingerichtet, dass die Toleranz gerade sechs Sigma breit ist. Fertigt der Lieferant mit halb so viel Streuung, ist die Rechnung konservativ. Nutzt er die Toleranz voll aus und läuft dabei knapp daneben, ist sie es nicht.
- Die Prozesse sind auf Mitte zentriert. Reale Prozesse sind das oft nicht. Ein Reibahlendurchmesser wandert mit dem Verschleiß in eine Richtung, ein Werker stellt lieber an die Grenze, die Nacharbeit erlaubt.
- Die Verteilungen sind normal. Nach einer 100-Prozent-Prüfung mit Aussortieren ist die Verteilung gerade nicht mehr normal, sondern an den Rändern abgeschnitten.
- Die Glieder sind voneinander unabhängig. Zwei Maße aus derselben Aufspannung sind es nicht. Verschiebt sich der Nullpunkt, wandern beide gemeinsam, und die Wurzel rechnet eine Kompensation heraus, die es nicht gibt.
Halten die Annahmen, dann liegen etwa 0,27 Prozent aller Baugruppen außerhalb des berechneten Bereichs. Das sind 2700 von einer Million. Bei einer Jahresstückzahl von 200 sind das null Teile, bei 200 000 sind es 540, die im Feld auffallen. Dieselbe Rechnung, zwei völlig verschiedene Konsequenzen.
Monte Carlo: wenn die Annahmen nicht halten
Die Simulation würfelt jedes Glied einzeln aus, addiert die Kette und wiederholt das 100 000 Mal. Statt einer Formel entsteht ein Histogramm des Zielmaßes, und daraus lässt sich direkt ablesen, welcher Anteil der Baugruppen außerhalb der Spezifikationsgrenzen landet.
Der Gewinn liegt nicht in der Genauigkeit. Bei lauter zentrierten Normalverteilungen liefert Monte Carlo dasselbe wie RSS, nur mit Rauschen. Der Gewinn liegt darin, dass jedes Glied seine eigene Verteilung bekommen darf.
| Verteilung | Passt zu | Wirkung auf das Ergebnis |
|---|---|---|
| Normal | eingefahrene Serienfertigung, Guss, Spritzguss | Bezugsfall, entspricht RSS |
| Dreieck | Prozesse mit klarer Mitte, aber ohne saubere Statistik | etwas breiter als normal |
| Trapez 1/3 und 2/3 | Fertigung mit Sortierung oder Nacharbeit an den Rändern | flache Mitte, harte Grenzen |
| Gleichverteilung | unbekannte Zulieferteile, Handmontage, Lehrenfertigung | deutlich breiter, konservativ |
Alle vier stehen im Toleranzketten-Rechner je Glied zur Auswahl, die Sigma-Zuordnung ist einstellbar.
Interessant wird es bei gemischten Ketten. Ein Kaufteil mit unbekanntem Prozess bekommt eine Gleichverteilung, die eigenen Drehteile eine Normalverteilung, das gesortierte Zukaufteil ein Trapez. So ein Modell lässt sich weder von Hand noch mit RSS rechnen, für die Simulation ist es Routine.
Ein Hinweis zur Interpretation: Die Simulation ist kein Orakel. Sie rechnet die Verteilungen aus, die man ihr gibt. Wer die Streuung eines Zulieferers nicht kennt und trotzdem Normalverteilung ankreuzt, bekommt ein sehr überzeugend aussehendes Histogramm über einer Vermutung.
Welches Verfahren wann
| Situation | Verfahren |
|---|---|
| Kollision, Sicherheitsfunktion, Dichtfläche | Worst Case, kompromisslos |
| Einzelstück, Prototyp, kleine Serie | Worst Case, weil Statistik über zehn Stück nichts aussagt |
| Serie, Prozesse bekannt, viele Glieder | RSS für die Auslegung, Worst Case als Blick auf das Risiko |
| gemischte Verteilungen, Zukaufteile, Sortierung | Monte Carlo |
| Streit um Ausschussquoten | Monte Carlo, weil nur die Simulation eine Quote liefert |
In der Praxis rechnet man selten nur eins davon. Der übliche Weg ist: Worst Case zuerst, weil er die kritischen Glieder zeigt. Bleibt das Ergebnis unbezahlbar, dann RSS mit einer bewussten Entscheidung über das Restrisiko. Und wenn diese Entscheidung dokumentiert werden muss, Monte Carlo, weil dort eine Zahl herauskommt, über die man mit dem Qualitätswesen reden kann.
Die Fehler, die in echten Ketten stecken
Vorzeichen
Der häufigste Fehler ist kein Rechenfehler, sondern ein Richtungsfehler. Ein Glied, das das Zielmaß vergrößert, zählt positiv, eines das es verkleinert, negativ. Bei einer Kette aus fünf Gliedern findet man das noch durch Hinsehen. Bei fünfzehn nicht mehr, und der Nennwert stimmt trotzdem, wenn sich zwei Fehler aufheben.
Toleranzen von Kaufteilen
Lagerbreiten, Sicherungsringdicken, Passscheiben, Wellendichtringe: alles Glieder mit Toleranz, die in keiner eigenen Zeichnung stehen. Wer sie mit dem Nennmaß in die Kette schreibt, rechnet eine Kette, die es nicht gibt. Bei Sicherungsringen nach DIN 471 ist die Dickentoleranz oft das größte Einzelglied der ganzen Kette.
Winkel und Hebelarme
Eine Rechtwinkligkeitstoleranz von 0,05 mm auf 50 mm Länge wirkt am Ende eines 200 mm langen Arms mit 0,2 mm. Solche Glieder gehören mit ihrem Übersetzungsfaktor in die Kette, nicht mit ihrem Zeichnungswert. Der Rechner hat dafür je Glied einen Faktor.
Temperatur
Eine Kette aus Aluminium und Stahl ändert ihr Zielmaß mit der Betriebstemperatur, und zwar oft um mehr, als die Fertigungstoleranzen zusammen ausmachen. Bei 60 K Erwärmung und 200 mm Baulänge liegt allein die Differenz der Ausdehnung bei etwa 0,13 mm. Wie sich das rechnet, steht im Beitrag zur Wärmeausdehnung in Passungen.
Form und Lage
Eine Anlagefläche mit 0,1 mm Ebenheit trägt nicht an ihrem Maß, sondern an ihrer höchsten Stelle. In der Maßkette taucht das nirgends auf, in der Baugruppe schon. Bei geschichteten Blechen und gegossenen Anlageflächen ist das regelmäßig der Grund, warum die gerechnete Kette und das gemessene Ergebnis nicht zusammenpassen.
Häufige Fragen
Ist RSS überhaupt zulässig, wenn nur 200 Stück gebaut werden?
Rechnerisch ja, praktisch bringt es wenig. Die statistische Aussage gilt für die Gesamtheit der gefertigten Teile. Bei 200 Stück ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine einzige Baugruppe an der Grenze liegt, hoch, aber falls doch eine auffällt, hilft die Quote niemandem. Bei kleinen Stückzahlen ist der Worst Case die ehrlichere Grundlage.
Warum ergibt RSS bei zwei Gliedern kaum einen Vorteil?
Weil die Wurzel erst bei vielen ähnlich großen Gliedern greift. Bei zwei Toleranzen von je 0,1 mm ergibt Worst Case 0,2 mm und RSS 0,141 mm. Bei zehn solchen Gliedern stehen 1,0 mm gegen 0,316 mm. Dominiert ein einzelnes großes Glied die Kette, verschwindet der Vorteil ebenfalls, weil dessen Quadrat die Summe bestimmt.
Was bedeutet die Sigma-Einstellung je Glied?
Sie legt fest, wie viele Standardabweichungen in die halbe Toleranz passen. Der Standardwert 3 entspricht der klassischen RSS-Annahme. Wer weiß, dass ein Lieferant seine Toleranz nur zur Hälfte ausnutzt, kann 6 einstellen und bekommt eine schmalere Verteilung. Umgekehrt macht ein Wert von 2 die Rechnung konservativer.
Muss die Wärmeausdehnung immer mit in die Kette?
Nur wenn Betriebs- und Messtemperatur auseinanderliegen oder verschiedene Werkstoffe beteiligt sind. Eine reine Stahlbaugruppe bei Raumtemperatur braucht das nicht. Sobald Aluminium, Kunststoff oder eine Erwärmung im Betrieb dazukommen, gehört die Ausdehnung als eigenes Glied hinein.